الأسّي يهزم كل القوى (عند +∞)

نظرية النموّ المقارَن

لكل عدد صحيح $n \geq 1$:

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$

بالعربية: عند اللانهاية، $e^x$ يسحق أي قوّة لـ $x$.

العبارة المُساعدة

« الأسّي يفوز دائمًا على القوى ». ثم « القوى تفوز على اللوغاريتم »: $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^n}{\ln x} = +\infty$.

الترتيب عند $+\infty$: $\ln x \ll x^n \ll e^x$.

الحالة المقابِلة عند $-\infty$

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ (لأي $n$).

الأسّي يسحق أيضًا القوّة، هذه المرة نحو 0.

نهايات مفتاح أخرى للحفظ

• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$ (مشتقة $e^x$ عند 0).
• $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.

فخّ الإشارة

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ (ليس $-\infty$). الأسّي دائمًا موجب.

?دورك الآن

lim (x → +∞) (x³ / eˣ) تساوي:

A.+∞B.0C.1D.غير محدّدة

تحقّق