$(a+b)^n$: ثنائي حد نيوتن ومثلث باسكال

الصيغة

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$

كل حد: معامل ثنائي $\binom{n}{k}$، قوة متناقصة لـ $a$، قوة متزايدة لـ $b$.

مثلث باسكال (حتى $n = 5$)

$$\begin{array}{c} 1 \\ 1 \; 1 \\ 1 \; 2 \; 1 \\ 1 \; 3 \; 3 \; 1 \\ 1 \; 4 \; 6 \; 4 \; 1 \\ 1 \; 5 \; 10 \; 10 \; 5 \; 1 \end{array}$$

كل عدد = مجموع العددَين اللذَين فوقه. السطر $n$ يعطي $\binom{n}{k}$ لـ $k = 0, \dots, n$.

مثال: $(x + 2)^4$

معاملات السطر 4: $1, 4, 6, 4, 1$.

$(x + 2)^4 = x^4 + 4 \cdot x^3 \cdot 2 + 6 \cdot x^2 \cdot 4 + 4 \cdot x \cdot 8 + 16$

$= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$

حالات خاصة معروفة

• $n = 2$: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $n = 3$: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$

التحقّق النهائي

تحقّق من نتيجتك بـ $a = b = 1$: مجموع المعاملات يجب أن يساوي $2^n$. لـ $n = 4$: $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4$ ✓.

حيلة الإشارة

لـ $(a - b)^n$، بادِل الإشارات: $+, -, +, -, \dots$.

$(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.

?دورك الآن

ما معامل x²y³ في (x + y)⁵؟

A.5B.10C.15D.20

تحقّق