قطرنة مصفوفة 2×2 في 60 ثانية

الطريقة في 4 خطوات

لتكن $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$.

الخطوة 1 — القيم الخاصة. حلول $\lambda^2 - t\lambda + \det = 0$ حيث:

• $t = \text{tr}(A) = a + d$ (الأثر)
• $\det = ad - bc$ (المحدّد)

الخطوة 2 — اختبار القابلية للقطرنة. إذا كان $\Delta = t^2 - 4\det > 0$ (قيمتان خاصّتان مختلفتان)، فإن $A$ قابلة للقطرنة في $\mathbb{R}$.

الخطوة 3 — المتّجهات الخاصة. لكل $\lambda$، حلّ $(A - \lambda I) v = 0$.

الخطوة 4 — الشكل القطري. $A = P D P^{-1}$ مع $D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$ و$P$ مُشكّلة من المتّجهات الخاصة كأعمدة.

مثال كامل: $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

• الأثر: $t = 5$. المحدّد: $\det = 6$.
• كثير الحدود المميز: $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$ ← $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3$.
• المتّجه الخاص لـ $\lambda_1 = 2$: حلّ $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} v = 0$ ← $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.
• المتّجه الخاص لـ $\lambda_2 = 3$: حلّ $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} v = 0$ ← $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.
• $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$، $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$.

الحالة $\Delta = 0$: احذر

قيمة خاصة مضاعفة واحدة. المصفوفة قابلة للقطرنة إذا وفقط إذا كان الفضاء الخاص المرتبط بها من البُعد 2. وإلا، هي فقط قابلة للتثليث.

الحالة $\Delta < 0$

لا قيم خاصة حقيقية ← غير قابلة للقطرنة في $\mathbb{R}$، لكنها قابلة في $\mathbb{C}$.

?دورك الآن

القيم الخاصة لـ A = ((4, 1), (2, 3)) هي:

A.4 و3B.5 و2C.2 و3D.4 و2

تحقّق