مشتقة الجداء: العبارة المُساعدة « u'v + uv' »

الصيغة

إذا كان $f(x) = u(x) \cdot v(x)$، فإن:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

النسخة المختصرة: $(uv)' = u'v + uv'$.

العبارة المُساعدة التي تلتصق بالذهن

« مشتقة الأول ضرب الثاني، زائد الأول ضرب مشتقة الثاني. »

كرّرها ثلاث مرات — لن تنساها.

مثال عملي

لنشتقّ $f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)$.

• $u = 2x + 1 \Rightarrow u' = 2$
• $v = x^2 - 3 \Rightarrow v' = 2x$

إذن:

$f'(x) = u'v + uv' = 2 \cdot (x^2 - 3) + (2x + 1) \cdot 2x$

$= 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$

الخطأ الكلاسيكي

كثير من الطلبة يكتبون $(uv)' = u' \cdot v'$. خطأ! تحقّق بمثال بسيط:

• $(x \cdot x)' = (x^2)' = 2x$
• لكن $x' \cdot x' = 1 \cdot 1 = 1$

لا يتوافق — الصيغة الحقيقية تعطي $1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x$ ✓

?دورك الآن

ما مشتقة f(x) = x · sin(x)؟

A.cos(x)B.sin(x) + x·cos(x)C.x·cos(x)D.sin(x) · cos(x)

تحقّق