Dérivée d'un produit : le mnémonique « u'v + uv' »

La formule à retenir

Si $f(x) = u(x) \cdot v(x)$, alors :

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

En version courte : $(uv)' = u'v + uv'$.

Le mnémonique qui reste en tête

« La dérivée du premier fois le deuxième, plus le premier fois la dérivée du deuxième. »

Chante-la trois fois — tu ne l’oublieras plus.

Un exemple concret

Dérivons $f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)$.

• $u = 2x + 1 \Rightarrow u' = 2$
• $v = x^2 - 3 \Rightarrow v' = 2x$

Donc :

$f'(x) = u'v + uv' = 2 \cdot (x^2 - 3) + (2x + 1) \cdot 2x$

$= 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$

L’erreur classique à éviter

Beaucoup d’élèves écrivent $(uv)' = u' \cdot v'$. Faux ! Vérifie sur un exemple simple :

• $(x \cdot x)' = (x^2)' = 2x$
• Mais $x' \cdot x' = 1 \cdot 1 = 1$

Ça ne colle pas — la vraie formule donne $1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x$ ✓

?À toi de jouer

Quelle est la dérivée de f(x) = x · sin(x) ?

A.cos(x)B.sin(x) + x·cos(x)C.x·cos(x)D.sin(x) · cos(x)

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