Dérivée d'une composée : la règle de la chaîne, sans se perdre

La formule

Si $u(x) = f\bigl(g(x)\bigr)$, alors :

$u'(x) = f'\bigl(g(x)\bigr) \times g'(x)$

En français : la dérivée de la fonction extérieure évaluée en la fonction intérieure, fois la dérivée de l’intérieur.

Le mnémonique qui marche à tous les coups

Quand tu vois $f(g(x))$, mets-toi en mode « oignon » : deux couches à éplucher.

Dérive l’extérieur, garde l’intérieur, multiplie par la dérivée de l’intérieur.

Un exemple pas-à-pas

Dérivons $u(x) = (3x + 2)^5$.

Trois autres exemples flash

$\bigl(\sin(2x)\bigr)' = \cos(2x) \times 2 = 2\cos(2x)$ (extérieur : sin. Intérieur : 2x, dérivée = 2.)

$\bigl(e^{x^2}\bigr)' = e^{x^2} \times 2x$ (extérieur : exp. Intérieur : x², dérivée = 2x.)

$\bigl(\sqrt{x^2 + 1}\bigr)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \times 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ (extérieur : racine. Intérieur : x² + 1, dérivée = 2x.)

L’erreur classique à éviter

Oublier de multiplier par la dérivée de l’intérieur. $\bigl(\sin(2x)\bigr)' = \cos(2x)$ est faux — il manque le facteur 2.

Test rapide : si l’intérieur n’est pas juste $x$, alors il faut le facteur.

?À toi de jouer

Quelle est la dérivée de f(x) = (x² + 1)³ ?

A.3·(x² + 1)²B.3·(2x)² = 12x²C.6x·(x² + 1)²D.3·(x² + 1)² · x

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?À toi de jouer

Dérivée de f(x) = cos(3x + 1) ?

A.−sin(3x + 1)B.−3·sin(3x + 1)C.3·sin(3x + 1)D.sin(3x + 1)

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