Limite en ±∞ : garde seulement les puissances dominantes

La règle d’or

En $\pm\infty$, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. Une fraction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré.

Polynômes

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x^2 + 100x + 7) = \lim_{x \to +\infty} 2x^3 = +\infty$

Le $-5x^2$, $+100x$ et $+7$ ne pèsent rien face à $2x^3$.

Fractions rationnelles

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x^2 + 3x - 1}{2x^2 + 7} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x^2}{2x^2} = 2$

Trois cas selon les degrés du numérateur ($n$) et du dénominateur ($d$) :

Cas	Limite en $+\infty$
$n < d$	$0$
$n = d$	rapport des coefficients dominants
$n > d$	$\pm\infty$ (selon les signes)

Attention en $-\infty$ pour les degrés impairs

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ (pas $+\infty$). Les puissances impaires gardent le signe de $x$.

Où cette astuce ne marche pas

• En une valeur finie (là il faut factoriser autrement).
• Quand il y a des exponentielles ou logarithmes — leur croissance bat les polynômes.

?À toi de jouer

lim (x → +∞) (3x⁴ − x² + 10) / (x⁴ + 5) vaut :

A.0B.3C.+∞D.1/3

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