Le paradoxe des anniversaires : combien faut-il de gens pour que 2 partagent la même date ?

La devinette qui étonne toujours

Combien de personnes faut-il réunir dans une pièce pour avoir plus d’une chance sur deux que deux d’entre elles fêtent leur anniversaire le même jour ?

Instinctivement, on pense à 183 (la moitié de 365). La vraie réponse : 23.

La courbe qui fait « oh »

Quelques valeurs marquantes :

• 10 personnes → ≈ 12 %
• 23 personnes → ≈ 50,7 % (le seuil mythique)
• 50 personnes → ≈ 97 %
• 70 personnes → ≈ 99,9 %

Pourquoi ce n’est pas 183

L’erreur classique : on compare soi-même aux autres. Alors qu’il faut compter toutes les paires possibles.

Avec $n$ personnes, le nombre de paires est $\frac{n(n-1)}{2}$. Avec 23 personnes, ça fait 253 paires — chacune ayant une petite chance (~1/365) de collision. 253 × (1/365) est déjà proche de 0,7. Le nombre de paires grimpe vite quand $n$ augmente.

La formule exacte

La probabilité qu’aucune collision n’ait lieu vaut :

$P(\text{aucune}) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \dots \times \frac{365 - n + 1}{365}$

Et donc :

$P(\text{au moins une collision}) = 1 - P(\text{aucune})$

La leçon à retenir

Notre intuition sous-estime la vitesse à laquelle les paires se multiplient. C’est le même piège dans plein d’autres problèmes de probabilité : compter les paires (ou les groupes), pas les individus.

?À toi de jouer

Dans une classe de 30 élèves, la probabilité que deux fêtent leur anniversaire le même jour est environ :

A.3 %B.12 %C.70 %D.50 %

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