L'exponentielle bat toutes les puissances (en +∞)

Le théorème des croissances comparées

Pour tout entier $n \geq 1$ :

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$

Traduction : à l’infini, $e^x$ écrase n’importe quelle puissance de $x$.

Le mnémonique

« Exp gagne toujours contre les puissances ». Puis « les puissances gagnent contre les log » : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^n}{\ln x} = +\infty$.

Hiérarchie en $+\infty$ : $\ln x \ll x^n \ll e^x$.

Cas symétrique en $-\infty$

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ (quel que soit $n$).

L’exponentielle écrase encore la puissance, cette fois vers 0.

Autres limites clés à retenir

• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$ (c’est la dérivée de $e^x$ en 0).
• $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.

Piège du signe

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ (pas $-\infty$). L’exponentielle est toujours positive.

?À toi de jouer

lim (x → +∞) (x³ / eˣ) vaut :

A.+∞B.0C.1D.Indéterminée

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