Factoriser un trinôme quand tu connais ses racines

La formule à retenir

Si le trinôme $ax^2 + bx + c$ a deux racines $x_1$ et $x_2$, alors :

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Ne jamais oublier le facteur $a$ devant.

Exemple

$3x^2 - 12x + 9$ :

• Discriminant : $\Delta = 144 - 108 = 36 > 0$.
• Racines : $x_1 = \dfrac{12 - 6}{6} = 1$, $x_2 = \dfrac{12 + 6}{6} = 3$.
• Factorisation : $3(x - 1)(x - 3)$.

Vérification par distributivité : $3(x-1)(x-3) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3x^2 - 12x + 9$ ✓.

Cas $\Delta = 0$ : racine double

Si le trinôme a une racine double $x_0$ :

$ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$

Cas $\Delta < 0$ : impossible

Si $\Delta < 0$, le trinôme ne se factorise pas dans les réels. Il reste sous sa forme développée (ou se factorise avec des complexes en terminale spé).

L’astuce de vérification rapide

Après factorisation, développe mentalement juste les termes en $x^0$ (le produit constant) pour vérifier que ça donne bien $c$.

Sur l’exemple : $3 \times (-1) \times (-3) = 9$ ✓.

?À toi de jouer

Comment se factorise x² − 7x + 12 ?

A.(x − 3)(x − 4)B.(x + 3)(x + 4)C.(x − 3)(x + 4)D.(x − 7)(x + 12)

Valider