Divisibilité par 3 et par 9 : additionne les chiffres

Les deux critères

• Divisibilité par 3 : la somme des chiffres est divisible par 3.
• Divisibilité par 9 : la somme des chiffres est divisible par 9.

En une image

Prenons $471$ :

• Somme des chiffres : $4 + 7 + 1 = 12$.
• $12$ est divisible par 3 → 471 est divisible par 3 ✓ (vérif : $471 = 3 \times 157$).
• $12$ n’est pas divisible par 9 → 471 n’est pas divisible par 9.

Prenons $342$ :

• $3 + 4 + 2 = 9$ → divisible par 3 et par 9 ✓ (vérif : $342 = 9 \times 38$).

Le raccourci du raccourci

Si la somme est encore grande, refais la somme. Exemple $918273$ :

• $9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 = 30$
• $3 + 0 = 3$ → divisible par 3, pas par 9.

Pourquoi ça marche

Toute puissance de 10 vaut $1$ modulo 9 (car $10 = 9 + 1$). Donc un nombre est congru à la somme de ses chiffres modulo 9. Divisible par 9 = somme divisible par 9. Idem par 3 puisque $9 = 3 \times 3$.